学校のテスト結果の分析

これから学校の数学の成績を例にしてANOVA検定を解説していきます。

ある学区には3つの学校があります。各学校の生徒の数学の成績は次の通りです。

各学校の平均点をチャートにしたものが以下です。

平均点を見ると学校Bが最も高く、その次にA、Cの順です。しかし、この差が統計的に意味のある差なのか、それとも単なる偶然やデータのばらつきによるものなのかは、この平均だけでは判断できません。 グループが2つならt検定で評価できますが、今回は3つのグループがあるためANOVA検定を使います。

帰無仮説

ANOVA検定における帰無仮説は、「複数のグループ間に平均値の差はない」 というものです。学校の例では、3つの学校の平均点はすべて等しいと仮定します。

帰無仮説が棄却される場合の意味は、単純に「差がある」ということではなく、「複数のグループのうち少なくとも1つの平均値が他のグループと有意に異なる」 ということです。つまり、学校の例では、少なくとも1校の平均点が他校と異なることを示しています。

ばらつきの分析

データは常にばらつきを持っています。そこで、複数のグループ間の平均値の差が、偶然によるばらつきの範囲内か、それとも統計的に有意に大きいか を判断する必要があります。

t検定では、2つのグループ間の平均値の差を標準化したt値を用いて差の有意性を判断しました。ANOVAではグループが3つ以上あるため、単純な差ではなくグループ間の平均のばらつきを指標として使います。ANOVAはこの考え方から「分散分析」と呼ばれます。

データ全体のばらつきは次の2種類に分けることができます。

1. グループ間のばらつき：学校ごとの平均点の違いによるばらつき
2. グループ内のばらつき：各学校の生徒の個人差によるばらつき

学校間の平均のばらつきが大きければ、学校の違いが成績の差に影響している可能性があります。逆に小さければ、学校間の違いはほとんど影響していないと考えられます。

グループ間のばらつきが統計的に有意かどうかを評価するには、グループ内のばらつきと比較します。グループ内のばらつきは、学校の違いでは説明できない他の要因（例えば、個人差、環境、偶然など）によるばらつきです。

各学校内のばらつき：

そして、学校間のばらつきがグループ内のばらつきに比べてどれだけ大きいか を表すのが F値で、以下のように計算されます。このF値をもとに、学校間の平均点の差が統計的に有意かどうかを判断します。

グループ間の平均のばらつき

グループ間の平均値のばらつきとは、各グループの平均値が全体の平均値からどれだけ離れているかの大きさを示すものです。統計的には、「グループ間2乗和」と呼ばれますが、これを実際に計算してみましょう。

まず、全体の平均値である76.5と各学校の平均値との差を求めます。この差を偏差と呼びます。第4章の分散の計算の時にも見たように、偏差だけでは足し上げるとゼロになるので、偏差の2乗を計算します。

さらに、各グループの生徒数を掛けることで、各グループの重みを考慮します。これを行うことで、人数の違いによる影響を補正できます。

これらの値を足し上げたものが「グループ間2乗和」、つまりグループ間の平均値のばらつきの2乗和です。

ここまでやってきたことを数式にすると以下のようになります。

グループ内のばらつきの大きさ

以下のチャートで見えるように、各学校の生徒のスコアはばらついていますが、この各グループ内のばらつきの大きさをこれから計算したいと思います。このばらつきのことを「グループ内2乗和」と呼びます。

まず、各生徒のスコアとその生徒が属する学校の平均との差（偏差）を計算します。

そして偏差の2乗を計算し、各学校ごとに足し上げます。

最後にこれらを全て足し上げると1793.3となりますが、これが「グループ内2乗和」です。

全体のばらつきの大きさ

最後に、全体のばらつきの大きさを計算しましょう。全体のばらつきとはそれぞれの値が全体の平均からどれだけばらついているかのことです。これを「全体2乗（または平方）和」と呼びます。これは、全ての生徒のスコアと全体平均との偏差の2乗を合計したものです。

これは「分散」と似ていますが、分散は「ばらつきの平均」であるのにたいし、全体2乗和は「ばらつきの和」です。

全体の平均値である76.5との差である偏差を計算し、2乗（偏差の2乗）します。

最後に、これら全ての偏差2乗の値を足し上げると2117.5となりますが、これが「全体2乗和」です。

ここで注目したいのは、これまでに計算した「グループ間2乗和」と「グループ内2乗和」を足し上げると先ほど求めた「全体2乗和」になるという点です。

グループ間のばらつきの平均

まず、グループ間の平均のばらつきの2乗和（グループ間2乗和）は 324.2 でした。 これをグループ数ではなく、自由度で割ることで グループ間2乗平均（Mean Square Between, MSB） を求めます。

注意：グループ間2乗和の平均を求めるために、学校の数3で割りたいところですが、「不偏分散」で見てきたように、サンプルから母集団のばらつきについて推定するためには、代わりに自由度で割る必要があります。

自由度は、全体の平均が決まっている場合に自由に動かせる値の数で計算します。

したがって、グループ間2乗平均は162.1と算出されます。

グループ間の平均値の差が大きいほど、この値は大きくなります。

グループ内のばらつきの平均

次に、グループ内のばらつきの和（グループ内2乗和）は 1793.3 です。 この値を元に グループ内2乗平均 を求めます。

ここでも、母集団に関する分散を推定したいわけですから、不偏分散を求めるために全員の数で割る代わりに自由度で割ります。

グループ内2乗平均を求める際の自由度は以下の式で求めることができます。

今回の例では、全生徒数 30人 なので自由度は 27 です。

<Beyond Basic>

グループ内2乗和は各生徒のスコア各学校の平均値との差を元に計算しました。これは、各グループの平均値がわかれば自由に値を決めれるのはそのグループの最後の一人以外であることを意味します。そのため、自由度は以下のように計算できるのです。

<Beyond Basic>

すでに計算されたグループ内2乗和（1793.3）を、自由度（27）で割ると約66.42となりますが、これがグループ内2乗平均となります。

それでは、グループ間のばらつきとグループ内のばらつきが計算できたので、さっそくF値を求めてみましょう。

グループ間のばらつきとグループ内のばらつきの比率

最後に、グループ間2乗平均とグループ内2乗平均の比率であるF値を計算します。

このF値は、学校ごとの平均スコアの違いの大きさを示しています。値が大きいほど、グループ間の差が統計的に有意である可能性が高くなります。

F分布とP値による有意性の判断

F値を計算しただけでは、グループ間の平均値の差が有意かどうかは判断できません。 私たちが知りたいのは、F値が「偶然のばらつきの範囲内か、それとも統計的に意味のある差を示しているか」です。

そのために使うのが F分布 という確率分布です。

同じ母集団から繰り返しサンプルを抽出してF値を計算すると、そのF値のばらつきは F分布 に従うことが知られています。F分布の形は2つの自由度によって変わります。これらはF値を計算する際の分子と分母で使われた自由度のことです。

• 自由度 1 ：グループ間2乗平均の計算に使われた自由度
• 自由度 2 ：グループ内2乗平均の計算に使われた自由度

今回の例では、自由度は以下のようになります。

• 自由度１ = 2（グループの数 − 1）
• 自由度２ = 27（全データ数 − グループ数）

その場合のF分布は以下のような形となります。

F分布の特徴

1. 値は0以上：F値は比率なので、0より小さくなることはありません。
2. 片側検定：F値は0以上で、値が大きくなるほどグループ間の差が大きいことを示すため、常に片側検定で評価します。
3. 形は自由度に依存：2つの自由度の値によって分布の形が変わります。

以下は2つの自由度の値を変えた時にF分布の形がどう変わるかをチャートにしたものです。チャート内のdf1、df2はDegree of Freedom（自由度）の略です。

P値を使った有意性の判断

F分布を使うと、手元のデータから算出されたF値以上の値が得られる確率であるP値を求めることができます。

今回の学校の例では、F値が2.44であるため、F分布を使うとP値は約10.6％と算出されます。結論として、有意水準5%の下では、「3つの学校の平均の違いは統計的に有意である」とは言えません。